1 Puissances d'une matrice. = 2 × Matrices triangulaires. ) J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse . Dans ce chapitre, nous allons étudier la puissance d'une matrice carrée. On consid ere la matrice D = 0 @ a 0 0 0 b 0 0 0 c 1 A. = × 4/33. Au programme : définition, opérations, inverse, déterminant P Voir opérations sur les matrices. − une matrice carrée d'ordre r Méthode : puissance de matrices. {\displaystyle r+1} 0 × 1 e 1 An = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. − La puissance -ième d'une matrice diagonale s'écrit immédiatement.Pour un bloc de Jordan, ce n'est pas beaucoup plus compliqué. + b) Matrices carrées particulières. 0 Le produit par un réel est distributif par rapport à l'addition de matrices : ( λ(A+ B) = λA + λB). d On en déduit facilement par récurrence que si une matrice carrée B P 1 Matrice unité . 8 La diagonale principale d’une matrice carrée démarre en haut à gauche et finit en bas à droite. ) D eterminer pour tout entier n > 1 l’expression de Dn M ethode 1 : Raisonnement par r ecurrence Soit A = 0 1 n2 3 . Voici un exemple de matrice diagonale d'ordre 3. 0 3 Puissance d'une matrice Soit D une matrice diagonale D= diag (d 1,d 2,...,d k) d'ordre k et n un tier en naturel. Il est également facile de voir que la puissance d’un multiple de l’identité (ou plus généralement d’une matrice diagonale) se calcule très facilement Proposition 2. En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. P {\displaystyle M^{3}=M^{2}\times M={\begin{pmatrix}-4&-2&8\\0&0&0\\-2&-1&4\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0&1&0\\-4&-2&8\\-1&0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}. 1 Les coefficients situés sur cette diagonale s’appellent les coefficients diagonaux de la matrice et les coefficients non situés sur cette diagonale s’appellent les coefficients non diagonaux de la matrice. Remarque . × {\displaystyle {\begin{aligned}A^{r}&=P\times B\times \mathrm {I} _{n}\times B\times \mathrm {I} _{n}\times B\times \mathrm {I} _{n}\times \cdots \times \mathrm {I} _{n}\times B\times P^{-1}\\&=P\times \underbrace {B\times B\times B\times \cdots \times B} _{\textrm {r}}\times P^{-1}\\&=P\times B^{r}\times P^{-1}.\end{aligned}}}. M Exemple D ˘ 0 @ 1 0 0 0 ¡3 0 0 0 4 1 Aest une matrice diagonale d'ordre 3. {\displaystyle A=P\times B\times P^{-1}} 1 Pour vous aider à améliorer les performances de vos équipements tournants, nous proposons une gamme complète de produits et de services d'assistance. − A × ☞ Toute puissance de la matrice identité est encore égale à l’identité: ∀n ∈N,∀k ∈N, Ik n = In. B 0 ( Calculer la puissance nième d'une matrice diagonale ou triangulaire, \begin{pmatrix} 1^n& 0 & 0 \cr\cr 0 &1 ^n & 0 \cr\cr 0 & 0 & 1^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \cr\cr 0 & -\left(1\right)^n& 0 \cr\cr 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2^n & 1 \cr\cr 0& 0 & \left(-1\right)^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A^1=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, A^n=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2^n & 1 \cr\cr 0 & 1 & \left(-1\right)^n \cr\cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\left(1\right)^n & 0 & 0 \cr\cr 0 & 5 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 5^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\left(1\right)^n & 11& 1 \cr\cr 1 & 5^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & 3^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \left(-1\right)^n & 1 & 1 \cr\cr 1 & 5 ^n& 1 \cr\cr 1 & 1 & 3^n \end{pmatrix}, A^1=\begin{pmatrix}0&-1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&-3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 0 & 0 & 3^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 1 & 1 & 3^n \cr\cr 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 &-\left(1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 & \left(-1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & \left(-1\right)^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7^n & 0 &0 \cr\cr 0 & -\left(1\right)^n & 0 \cr\cr 0 & 0 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 5^n & \left(-2\right)^n \cr\\0 & 0 & 1^n \cr\cr 0 & 0 &0 \end{pmatrix}, A^1=\begin{pmatrix}0&5&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, A^2=\begin{pmatrix}0&0&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. {\displaystyle n} Eléments ropresp d'un endomorphisme olynôPme caractéristique d'une matrice Diagonalisation d'une matrice Applications de la diagonalisation On considère A une matrice carrée d'ordre n‚2 . On consid ere la matrice D = 0 @ a 0 0 0 b 0 0 0 c 1 A. M ( 2 I Nos conseillers pédagogiques sont là pour t'aider et répondre à tes questions par e-mail ou au téléphone, du lundi au vendredi de 9h à 18h30. P A 1 0 ☞ Toute puissance de la matrice identité est encore égale à l’identité: ∀n ∈N,∀k ∈N, Ik n = In. I 1 r Sigma a donné une formule erronée de la puissance nième de H en fonction de n, D la matrice diagonale et P la matrice de passage ; en fait: H^n = P.D^n.P^(-1) Je confirme le polynôme caractéristique donné par Alain ainsi que les valeurs propres: P(x)=x^3 - 12x² + 36x - 32=(x - 2)²(x - 8) Soit 8 − 1 Nous vous laissons vérifier que pour , est la matrice dont les termes de la forme sont égaux à , les autres étant nuls.Pour , .Par la formule du … 0 − − {\displaystyle r} Nous vous laissons vérifier que pour , est la matrice dont les termes de la forme sont égaux à , les autres étant nuls.Pour , .Par la formule du … ) {\displaystyle 0_{n}} Proposition (rang d'une matrice échelonnée) Avec les notations précédentes, la matrice échelonnée {A} est de rang {r}. P − 4 0 = Besoin de plus de renseignements sur l'abonnement ou les contenus ? Nous avons vu au chapitre précédent que : ( Besoin de plus de renseignements sur l'abonnement ou les contenus ? ( 1 0 est inversible, et c (la matrice E23 avec un 1 sur la 2ème ligne 3ème colonne). à la puissance r, c'est multiplier r fois la matrice La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. I 8 − × 4 Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée. An = \begin{pmatrix} 0 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 0 & 0 & 3^n \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \cr\cr 0 & 0 & 0 \cr\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 1 & \left(-1\right)^n & 2^n \cr\cr 1 & 1 & 3^n \cr\cr 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix}7&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix}7^n&0&0\\0&\left(-1\right)^n&0\\0&0&\left(-1\right)^n\end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 &-\left(1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 7^n & 1 & 1 \cr\cr 1 & \left(-1\right)^n & 1 \cr\cr 1 & 1 & \left(-1\right)^n \end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 7^n & 0 &0 \cr\cr 0 & -\left(1\right)^n & 0 \cr\cr 0 & 0 & -\left(1\right)^n \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix}0&5&-2\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix} 0 & 5^n & \left(-2\right)^n \cr\\0 & 0 & 1^n \cr\cr 0 & 0 &0 \end{pmatrix}, An = \begin{pmatrix}0&0&5\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}. × Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale A à une certaine puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) revient à élever les coefficients de la diagonale de A à cette puissance : Inversion. 1 {\displaystyle M^{r}} ( On note A^{n} la matrice : A^{n}=A\times A\times \cdots.\times A (n facteurs). = × Posté par . M Puissance d’une matrice diagonale Soient a, b et c trois r eels. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. f School Cégep François-Xavier-Garneau; Course Title CALC 123; Uploaded By PrivateProton13801. Diagonaliser revient à trouver une base de R^3 dans laquelle la matrice de f est diagonale, donc trouver une base constituée de 3 vecteurs propres Même si tu ne sais pas que les valeurs propres d'un projecteur sont 0 et 1, tu peux quand même facilement trouver des vecteurs v vérifiant f(v)=v ou f(v)=0 grâce aux propriétés du projecteur. 1 Puissance n-ième d’une matrice Limite I. Puissances d’une matrice (A) Matrices diagonales Définition 1 Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur sa diagonale principale sont nuls. Exemple : 21 12 21 12 31 13 2 2 32 23 3 3 0 7 3 0 4 7 0 5 4 0 3 5 0 b b A a a B b b b b − = − = → = − = − → = − − − = − On constate que lorsque i j =, pour que l’égalité ij ji a a = − soit respectée, il faut que tous les éléments de la diagonale principale d ’ une matrice antisymétrique soient des « 0 ». 2 0 2 n 1/2. 0 P M 4 0 0 − vérifiant : Cette relation nous permet de calculer sans trop de difficultés la matrice 1: Puissance d'une matrice: 2: Puissance d'une matrice: 3: Exercice - Étude d’une suite de matrices: Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés Il reste 70% de cette fiche de cours à lire Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. Puissance d'une matrice diagonale. ( × Révisez en Terminale S : Exercice Calculer la puissance nième d'une matrice diagonale ou triangulaire avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale - Page 2 0 − 2 2 r On appelle puissance -ème de # : ... Donner l’inverse de la matrice , d’une matrice scalaire (de scalaire non nul), d’une matrice diagonale (à coefficients diagonaux non nuls). 1 r alors 0 ⏟ 1 Les puissances d'une matrice diagonalisable s'expriment sous la forme = − où la puissance de la diagonale se calcule en élevant simplement chaque coefficient diagonal à la même puissance .. En conséquence, pour tout polynôme Q, la matrice Q(M) est égale à P. Q(D).P-1, et Q(D) s'exprime en appliquant simplement Q à chaque coefficient diagonal de D. Calculer {A^{n}}. Deux matrices et sont semblables , lorsqu'elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes, ou encore, quand il existe une matrice de passage telle que . Cas des matrices diagonales a. Définition Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de sa... 3. https://fr.wikiversity.org/wiki/Initiation_aux_matrices/Puissance_d'une_matrice 1 0 La puissance n-ième de D est la matrice D n= diag ‰dn 1,d 2,...,d n kŽ. 0 Quelle est la valeur de A^n pour tout entier naturel n ? n N n Nous allons toutefois donner quelques indications pour préparer les leçons de niveau supérieur qui traitent cette opération de façon plus complète. × Si je fais cela, à la main, tout fonctionne très bien. En effet, on peut remarquer que lorsque l'on multiplie deux matrices diagonales entres elles, cela revient à multiplier les coefficients de la diagonale deux à deux. − × 1 = M × A 2 × 4 Transposée d'une matrice. 5 cette opération. ) n Retrouve Alfa dans l'app, sur le site, dans ta boîte mails ou sur les Réseaux Sociaux. n 0 8 Problème 1 : puissances de matrices Rappels et notations Étant donnés deux entiers naturels non nuls p et q, M p,q (C) désigne l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes, à coefficients complexes. Inverse d'une matrice diagonale.

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